By

　　此前写过“科研随笔”系列的第一篇试论如何开题 ，希望借此整理和分享我在数学研究中的些许所得。最近恰逢数学生涯的转折阶段，自觉是一个写第二篇不错的契机。对于我讨论的局限性（例如仅来自于我两年多的研究经验），在前文已经提及，便不再赘述，只望抛砖引玉或至少留作自我反思。

　　由于最近看了《纯粹理性批判》 ，获知了许多知识如何成为可能的想法，其中有许多适用于数学的讨论（至少是康德前古典的数学，部分讨论对当下的部分数学也有启发意义），所以下文写作时或许会潜在地受到影响。但我写这篇文章时并不希望从所谓“元数学”或者“数学哲学”的角度去谈，而只希望从形而下的方法论角度。引用莱姆在《其主之声》中的话：对我来说，数学不是世外桃源；更确切地说，数学是一处最后的避难所。

　　那便让我开始吧。此前一篇文章着眼于给定大致方向后，开始“正式”地数学研究的准备工作。而这篇文章便希望通过我自己的经历去探讨已经较为广泛的遍历前人材料后，数学研究的过程。

　　首先从开题过程中广泛的涉猎中，需要抽理出最基本的可依赖的数学事实，我们称之为X好了。比如某某不变量，某某估计，某某恒等式。在繁杂的材料中第一次便抽出最终重要的事实是极其困难的，但从前人关注与讨论的范围内，注意到那个核心的部分，以此为出发点，还是相对容易的。注意这里和总结出其中的数学思想还相距较远，在最初的云雾中，能抓住什么可以凭据的东西就已经很不容易了。在抽理过程中，有两种材料当然最值得关注：一种是原初引入X的文章或者书，一种是在发展一定阶段后的综述性文章。前者让人明确X之前的出发点和最初达成的质变效果，后者能较为总体的让人理解X在各种相关性质中的演变与应用。

　　第二步是找到一个关联X与其他数学事实Y或者某个性质P的桥梁。一种方法是借助某一猜想，这时常在原初文章和综述文章的末尾可以找到。这里的猜想当然有强有弱，弱一些的一般就是启发性的，问能不能看看X和Y有没有什么联系，因为X的构造本身借鉴了Y的构造，但又有所跳跃。强一些的则是给出了具体的形式，比如X和Y的理论实际上同构，Y的某个性质P可以推广到X上。这方面我熟知的例子是在我研究的规范场论中各种Floer同调的同构性以及性质的相关性。另一种方法当然是自己提出猜想，这一层面，也可以是把弱的猜想加强成更强的猜想即提出具体的形式。所用的办法一是追寻最初构造X时的动机，并加以具体化；第二是有机会的话不妨与写作者聊聊，或者也咨询导师的看法，或许会获得一些额外的未被写下来的业界共识；第三便是随着经验的积累，展开想象，当新遇到一个数学事实Z与以前遇到的X有某种若有若无的相似性时，停下来反思一下这种给自己带来相似性的感觉究竟出自于哪里。

　　这种寻找或者体认相似性在我看来曾被归为感性或直觉，或者说数学的品味，但当康德对广义的理性做出知性和狭义理性的划分，并把学习和运用知识归结于知性时，我上文所述的行为便又在狭义理性中找到了自己的位置。或者更抽象一点，寻找的动机可以归结于理性的原理或者倾向，而寻找过程中的想象、将X和Y关联起来的这种过程是理性对知性的运用。重要的是，在寻找桥梁这一层面，所做的只是获得可能性而不确切性，即在这一层面不涉及任何证明性的东西，而是此前所学知识和近期所接触的新事物在理性范围内发生的一系列复杂的作用，在方法论意义上或许并说不清楚，于是我在这里就暂时搁置了。

　　第二步中所获得的桥梁并没有那么强的必然实现性，但对做数学的我来说也不妨暂时将它们当做假设而向前，这在两方面都是不吃亏的，无论它指向了某个确实可行的结果（为证明提供了可能），还是前进过程中出现了似乎矛盾的东西（为反证提供了可能）。一般而言，在前进的前期获得的更多的是可行的结果，而后期产生矛盾的倾向时，则说明这一桥梁的运用已经触及可行范围的边界了。所以在前进过程中，将求同和存异的想法时刻做平衡与调整是十分重要的。对我自己而言，曾经我抱着某一猜想当作圭臬而高歌前行，确实由此获得了许多启发与实在的结果，而现今我则越发感到所用的桥梁所蕴含的信息还不够充分，还需要更多的洞见来获得延伸地更远的桥梁。

　　在上文中，对于什么是前进中“可行的”的判断也十分重要。就我短暂的科研经历中，得到“是什么”（定理叙述）和“怎么办”（证明）的过程往往依赖的不同的东西。前者一般来自于上文提及的桥梁，而“怎么办”依赖的工具则是别的东西，我曾从拓扑、分析的办法入手都没有实际效果，虽然也加深了我对“是什么”的理解。而最终的解决方案出自代数，确切的说是线性代数或者抽象代数，于是我又一度产生了“我遇到的问题所依赖的代数的问题总是可做的，只是我还没找到对应的人或者对应的材料”的想法。而当我发觉某些代数定理的局限性和适用性后，又不完全把期望投到代数上，而是承认拓扑有时候也还是有奇效的（上文我说的拓扑主要是指做手术、画Kirby图这种我看来比较“纯”与“硬核”的拓扑，而实际上我能用上的是类似于同调论中MV序列的代数拓扑的办法，还有切触拓扑这种和几何相关而又比较“软”的拓扑）。这种运用效果的差异一方面由于我本人学习能力与兴趣的偏重性，另一方面也指出对同一个问题，在一个角度上陷入困境时，是值得换一种手段去处理的。而手段的多样性则和经验有更多的相关性，研究的初期手里的手段实际上是很少的，所以也格外没有头绪，只能乱撞，而到后期则手上至少有三板斧能去先劈几下，所以我谈及的数学研究的方法其实随着研究经验的积累也是有变化的。

　　在建立桥梁、用桥梁试探性前进、获得部分前进结果以及认识到桥梁的局限性这一流程不断地运作后，对最初的数学事实X的认识不断加深，这时或许可以尝试着对X进行再一次的全局化理解。综述文章往往是作者在这种情况下写就的，但当新入门者去阅读综述时，往往由于缺乏足够深刻的认识而只注重表面而流失掉文章中的思想，所以再度去阅读综述来查漏补缺是十分重要的。但甚至不止于此，因为综述只针对写作之前人们对X的理解，而当我真正加入到了对X的理解的丰富过程中时，实际上是能够超越综述带来的观点的，所以归纳总结一套在X相关的话题中大致可行的方案，并大致明确其施行的界限是阶段性驻足时一个不错的驻足点。

　　由此往后，或许跳出X而进入对此前涉及甚至使用但不太明确的Y的相关领域，或许在阶段性驻足后发现此前忽略的点而进一步对X产生新的理解、搭起新的桥梁，或许仿照这X相关领域的经验，独立构建一套新的X’甚至W理论，或许构造一种A-Z的视角将X事实只当做一大类事实中的一个特例。对于这些，我可以想见未来我的数学研究中可能会遇到，而我目前还没有足够的数学经验去详细的谈及对他们的理解。所以这篇文章或许也只不过是“试论如何获得证明思路，Part 1”，因为我也不过是在假定了要着眼于数学事实X之后，对进一步理解X要如何去做得到了一些见解，在科研随笔的路上，未来或许我也能走得更远吧。

14:40 2021/12/21
衣服

​